Материалы для студентов→ Курсовая работа /

ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

Скачать файл
Добавил: fafnir
Размер: 537 KB
Добавлен: 30.04.2015
Просмотров: 624
Закачек: 9
Формат: doc

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИИ ФГБОУ ВПО ТУЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра теоретической механики

КУРСОВАЯ РАБОТА ПО РАЗДЕЛУ "ДИНАМИКА" «ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ»

Вариант № 1

Выполнила: студентка гр.Б360811 Пашута А.А.,шифр120191 Научный руководитель:профессорМитяев А.Г

Тула, 2013

Оглавление

1. Аннотация

2. ЧастьI. Вывод дифференциального уравнения движения с использованием теоремы об изменении кинетической энергии системы.

3. ЧастьII. Определение закона движения системы.

4. ЧастьIII. Определение реакций внешних и внутренних связей.

5. ЧастьIV. Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью принципа Даламбера-Лагранжа.

6. ЧастьV. Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью уравнения Лагранжа 2-го рода.

7. ЧастьVI. Результаты вычислений.

8. Приложение.

Аннотация

    Исследуется движение механической системы с одной степенью свободы, на которую действует момент сопротивленияMc=µ ωи возмущающая гармоническая силаF(t). Трением качения и скольжения пренебрегаем. Качение катков происходит без скольжения. Проскальзывание нитей на блоках отсутствует. Требуется, используя основные теоремы динамики системы и аналитические методы теоретической механики, определить закон движения первого тела и реакции внешних и внутренних связей.

Схема механизма и данные для выполнения задания:

Дано:

m1= 2 кг

m2= 1 кгr2 = 0,15 м                                       сплошной цилиндр

m3= 3 кгr3 = 0,1 мR3 = 0,2 мi3 = 0,2

m4= 4 кгr4 = 0,2 мR4 = 0,3 м         сплошной цилиндр

µ = 1 кг/с                 α = 450

υ = 0,5 Н м сx0 = 0.05 м

c = 2000 Н/мp = 2π с-1

fсц = 0,25

F0 = 20 Н

Рис.1. Схема механизма и исходные данные

I. Вывод дифференциального уравнения движения

с использованием теоремы об изменении кинетической энергии механической системы

Изобразим расчетную схему (рис. 2)

Рис. 2. Расчетная схема

На рис. 2 обозначено:

Р1234 – силы тяжести,

N4 – нормальные  реакции опорной плоскости,

Fуп – упругая реакция пружины,

Х3, У3 – реакции подшипника блока 3,

R=V – сила вязкого сопротивления,

F(t) – возмущающая сила.

Рассматриваемая механическая система имеет одну степень свободы (нити нерастяжимые, качение катка 3 происходит без скольжения). Будем определять ее положение с помощью координатыS. Начало отсчета координаты совместим с положением статического равновесия центра масс груза 1.

 Для построения дифференциального уравнения движения системы используем теорему об изменении кинетической энергии механической системы в форме:

,                                          (1.1)

где Т - кинетическая энергия системы,

- сумма мощностей внешних сил,

- сумма мощностей внутренних сил.

Теорема (1.1) формулируется так: "Производная по времени от кинетической энергии механической системы равна алгебраической сумме мощностей внешних и внутренних сил, действующих на точки механической системы".

Вычислим кинетическую энергию системы как сумму кинетических энергий тел 1-3:

Т=Т1234.(1.2)

Груз 1 совершает поступательное движение. Его кинетическая энергия равна:

Т1=                                                   (1.3)

Каток 2 совершает плоскопараллельное движение, поэтому его кинетическая энергия определяется по теореме Кенига

T2=+,                                   (1.4)

гдеV2 – скорость катка 2

JO2 - момент инерции относительно центральной оси блока;

- угловая скорость блока.

    Блок 3 совершает вращательное движение около неподвижной оси. Его кинетическая энергия

T3=,                                                  (1.5)

где J3 - момент инерции относительно центральной оси катка,

- угловая скорость катка.

Блок 4 совершает плоское движение.

T= ,

гдеm4– масса блока 4,

V4 – скорость блока 4

Кинетическая энергия всего механизма будет равна:

T=+++                   (1.6)

Выразим V3,V4,, ,J2,J3 через скорость груза 1.

ПоложивV1=V=V2, получим

J3=m3i32,J2=,  ,V4=  ,   ,      (1.7)

  Подставляя (1.3), (1.4), (1.5) в (1.6) с учетом (1.7), получаем:

(1.8)

или

T=,                                                                        (1.9)

гдеmпр= =3,68 кг           (1.10)

Величинуmпр=constбудем называть приведенной массой. Найдем производную от кинетической энергии по времени

                              (1.11)

Теперь вычислим правую часть уравнения (1.1) - сумму мощностей внешних и внутренних сил.

Мощность силы равна скалярному произведению вектора силы на скорость точки ее приложения

                        (1.12)

Рассматриваемая   нами   механическая   система   является неизменяемой, т. е. тела, входящие в систему, недеформируемы и скорости их точек относительно друг друга равны нулю. Поэтому сумма мощностей всех внутренних сил будет равняться нулю:

                                         (1.13)

Будут равняться нулю и мощности некоторых внешних сил, приложенных в точках, скорости которых равны нулю. Как видно из расчетной схемы, таковыми являются силы

Сумма мощностей остальных сил

             (1.14)

или, раскрывая скалярные произведения,

                        (1.15)

С учетом кинематических соотношений (1.7) сумму мощностей внешних сил преобразуем к виду:

В состоянии покоя приведенная сила равна нулю. Полагая , получаем условие равновесия системы

тогда, учитывая, что сила вязкого сопротивления

                                  (1.16)

или

Ne=VFпр ,                                                                                 (1.17)

где

                                                   (1.18)

ВеличинуFпр будем называть приведенной силой.

Подставим выражения для производной от кинетической энергии (1.11) и сумму мощностей всех сил (1.17) с учетом (1.18) в уравнение (1.1). Тогда, получаем дифференциальное уравнение движения системы:

                             (1.19)

Запишем последнее уравнение в виде:

,                                         (1.20)

где введены коэффициенты, имеющие определенный физический смысл:

       - циклическая частота свободных колебаний,

k = 3,06 с-1

          - показатель степени затухания колебаний.

n =0,14 с-1

Запишем начальные условия движения:

t=0  |       .                             (1.21)

Выражения (1.20) и (1.21) совместно представляют математическую модель для решения второй задачи динамики.

II.  Определение закона движения системы.

Проинтегрируем дифференциальное уравнение (1.20).

Общее решение S неоднородного дифференциального уравнения (1.20) складывается из общего решения однородного уравненияSOD и частного решения SЧ неоднородного:S =SOD +SЧ. Однородное дифференциальное уравнение, соответствующее данному неоднородному (1.20), имеет вид:

                                                             (2.2)

Решение этого уравнения ищем в виде функции

S =AeLt , (2.3)

где А иL - неопределенные постоянные величины.

Подставляя (2.3) в (2.2), получаем:

(L2 + 2nL +k2)AeLt = 0

Так как мы ищем нетривиальное решение, то. Следовательно, должно выполняться условие

L2 + 2nL +k2= 0. (2.4)

Уравнение   (2.4)   называется   характеристическим   уравнением дифференциального уравнения (2.2). Эти уравнение имеет два корня:

 (2.5)

n < к, поэтому общее решение уравнения (2.2) имеет вид:

                                (2.6)

где А12 - постоянные интегрирования,

(2.7)

k1= 3,06c-1

Решение (2.6), используя известные формулы Эйлера

,

нетрудно представить в виде:

SOD = (2.8)

где  - постоянные интегрирования.

Определим частное решение неоднородного дифференциального уравнения

(2.9)

Частное решение ищем в виде правой части

(2.10)

Подставляя (2.10) в (2.9), после несложных преобразований получаем:

Сравнивая коэффициенты при соответствующих тригонометрических функциях справа и слева, получаем систему алгебраических уравнений для определения постоянных А и В:

.

Решая эту систему, получаем следующие выражения для коэффициентов

А и В:

(2.11)

.

F0 = 20H,mпр = 3.68 кг,k = 3.06c-1,n = 0.14c-1, .

A = -2,64 м

B = 4,68 м

Таким образом, решение (2.10) определено. Складывая (2.8) и (2.10), получаем общее решение неоднородного уравнения (2.9)

(2.12)

Константы  определяются из начальных условий (1.21). Для этого найдем производную по времени от (2.12)

(2.13)

Подчинив (2.12) и (2.13) начальным условиям, получим систему уравнений относительно искомых констант

Решая эту систему, получаем:

.                                             (2.14)

α = 5,54

tgβ= 1,6

β=arctg(1,6) = 58

Подставляя (2.14) в (2.12), получаем закон движения механизма.

S = 5,54е-0,14t sin (0,36t+1,6) -2,64 sin (πt)+ 4,68cos (πt)

III. Определение реакций внешних и внутренних связей.

Для решения этой задачи расчленяем механизм на отдельные части и изображаем расчетные схемы отдельно для каждого тела (рис.3).

Рис.3. Расчетные схемы каждого тела механизма

Определение реакций связей проведем с помощью теоремы об изменении количества движения и теоремы об изменении кинетического момента относительно центра масс

                                               (3.1)

                                                     (3.2)

В соответствии с расчетными схемами (рис.2) записываем уравнения (3.1) и (3.2) в проекциях на оси координат

тело 1:                  ,                      (3.3)

тело 2:                 ,                   (3.4)

тело 3,                                                 (3.5)

                                         (3.6)

                                                         (3.7)

тело 4;                  ,                                                   (3.8)

                                      .                                      (3.9)

С учетом кинематических соотношений (1.7) систему уравнений (3.3) - (3.9) преобразуем к виду:

,

,

,

,  (3.10)

,

,

Уравнения (3.10) составляют систему алгебраических уравнений относительно функций:N4,T34,T12,T23,X3,Y3.

Решая эту систему, получаем и дифференциальное уравнение движения системы, и выражения для определения реакций.

,

X3=,

,

          ,

T32=

IV. Составление дифференциального уравнения

движения механизма

с помощью принципа Даламбера-Лагранжа

Общее уравнение динамики системы есть математическое выражение принципа Даламбера-Лагранжа

          .                                  (4.1)

Здесь - сумма элементарных работ всех активных сил на возможном перемещении системы;

- сумма элементарных работвсех сил инерции на возможномперемещении системы.

     Изобразим на рисунке активные силы и силы инерции (рис.4).

Рис. 4. Расчетная схема

     Идеальные связи  не учитывают и не отображают на расчетной схеме, поскольку по определению работа их реакций ва любом возможном перемещении системы равна нулю. Пружина является неидеальной связью. Введем реакцию этой связи в число активных сил.

Сообщим системе возможное перемещение. Возможная работа активных сил определяется как сумма следующих элементарных работ:

                         (4.2)

Вычисляя последовательно элементарные работы активных сил и суммируя их, получаем после несложных преобразований

  (4.3)

Аналогичное выражение для приведенной силыFпр получено ранее [см. (1.18)].

Найдем возможную работу сил инерции:

                                                                                                   (4.4)

Для величин главных векторов и главных моментов сил инерции имеем следующие выражения:

Ф4=m4                                                              (4.5)

Используя кинематические соотношения (1.7), можно записать

                                                                               (4.6)

Тогда возможную работу сил инерции можно преобразовать к виду

                            ,                                (4.7)

гдеmпр=,                    (4.8)

Аналогичное выражение для приведенной массы системы было получено ранее [см.(1.10)]. Подставляя выражения (4.3) и (4.8) в общее уравнение динамики (4.1), получаем

   (4.9)

Поделив (3.10) на , получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний системы:

,                                        (4.10)

где

                                                                            (4.11)

Дифференциальное уравнение (4.10) полностью совпадает с полученным ранее уравнением (1.20).

V. Составление дифференциального уравнения

движения механизма с помощью уравнений Лагранжа 2-го рода.

Составим теперь уравнения Лагранжа 2-го рода. Для механической системы с одной степенью свободы дифференциальное уравнение движения в обобщенных координатах имеет вид:

,  (5.1)

где Т - кинетическая энергия системы;

Q - обобщенная сила;

S - обобщенная координата;

- обобщенная скорость. Выражение для кинетической энергии системы было найдено ранее (1.9):

T=,

гдеmпр=,

Учитывая, что V = , получаем

T=,(5.2)

Производные от кинетической энергии

;                ;          .           (5.3)

Для определения обобщенной силыQ сообщим системе возможное перемещение  (рис. 3) и вычислим сумму элементарных работ всех активных сил на возможных перемещениях точек их приложения [см. (3.3)]:

.

С другой стороны для системы с одной степенью свободы

(5.4)

Сравнивая два последних соотношения, получаем

                                          (5.5)

Подставляя производные от кинетической энергии (5.3) и обобщенную силу (3.16) в уравнение Лагранжа, получаем

или

,    (5.6)

VI.Результаты вычислений

Студентка:                Пашута А.А.                  Группа:                           Б360811

Вариант:                    1

                                                                                                                                       .

с = 2000 Н/мm1 = 2 кгm2 = 1кгm3 = 3кгm4 = 4кг

fст =Fсц =

mпр = 3,68 кгk = 3,06c-1n = 0,14c-1k1 = 3,1c-1

A0 = -2,64 м                                                                        α0 = 5,54

B0 = 4,68 м                                                                          β0 = 58

Приложение

График зависимостиS(t),V(t)

График зависимостиW(t)

График зависимостиT12(t),T23(t),T34(t)