Материалы для студентов→ Курсовая работа /

ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА МЕРЫ ЛЕБЕГА

Скачать файл
Добавил: fafnir
Размер: 1.84 MB
Добавлен: 30.04.2015
Просмотров: 1017
Закачек: 17
Формат: doc

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра прикладной математики и математических методов в экономике

КУРСОВАЯ РАБОТА

ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА МЕРЫ ЛЕБЕГА

Выполнил:

Миронов Роман Станиславович, студент группы ПМИ,II курса ФМОИиП,

очной формы обучения

Научный руководитель:

Богданова Елена Алексеевна

кандидат педагогических наук, доцент

кафедры ПМиММЭ

Мурманск

2012

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………..3  ГЛАВА 1 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ, КАСАЮЩИЕСЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА       ……………………………………………………………………………………...5

1.1Мера элементарных множеств…………………………………………5

         1.2Лебегова мера плоских множеств………………………………….....11

  ГЛАВА 2 ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ ТЕОРИИ                  МЕРЫ ЛЕБЕГА………………………..……………………………………...........21

             2.1 Измеримые множества по Лебегу……………………………………21

2.2 Множества меры нуль………………………………………………..28

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………….30

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ………31

ВВЕДЕНИЕ

Исходным понятием в теории Лебега служит понятие меры. Это понятие обобщает понятие длины, площади, объема, а также массы, вероятности и т.д.

Меру можно сопоставлять множествам произвольной природы, однако, чтобы положить, что рассматриваемое семейство множеств замкнуто относительно естественных операций над множествами – объединения и пересечения, причем как выясняется, теория может быть достаточно далеко продвинута, если эти операции можно выполнять не только в конечном, но и в счетном числе.

В отличие от теории интегрирования по Риману теория интегрирования по Лебегу, в наше время одинаково просто развивается независимо от числа переменных (и вообще, независимо от природы области определения). Кроме всего прочего, это позволяет рассматривать очень простые, но вполне содержательные модели, когда область определения – промежуток вещественной оси, интеграл Римана покрывается интегралом Лебега: функции, интегрируемые по Риману, интегрируемы по Лебегу и значения интегралов совпадают.

Следует сразу отметить, что имеется немало разных подходов к построению меры Лебега, но (при отсутствии ошибок) все они приводят к одному результату.Труды Лебега имели ещё одно важное концептуальное значение: они были полностью основаны на спорной в те годы канторовской теории множеств, и плодотворность лебеговской теории послужила веским аргументом для принятия теории множеств как фундамента математики.

Цель данной курсовой работысостоит в том, чтобы проведя анализ существующей литературы по данной тематике, выявить основные определения и свойства меры Лебега.

Объектом исследованияявляется мера Лебега.

Предметом исследованияявляется рассмотрение важных, теорем и замечаний, связанных с мерой Лебега.

Задачи курсовой работы:

- изучить основные понятия и свойства, связанные с объектом исследования.

-   рассмотреть соответствующую литературу с целью изучения основных свойств и определений.

Для решения поставленных задач были использованы следующиеметоды исследования:сравнительный анализ научной, математической и учебной литературы по проблеме исследования; изучение, анализ и обобщение основных аспектов, связанных с мерой Лебега.

Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы.

В первой главе курсовой работы рассматриваются основные теоретические аспекты, связанные с мерой Лебега и её свойствами.

Во второй главе приведены практические задачи.

Основной текст работы включает 30 страниц и список использованных источников и литературы содержит 15 наименований.

ГЛАВА 1 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ, КАСАЮЩИЕСЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА

  1. МЕРА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ МНОЖЕСТВ

Воспользовавшись научными выводами А.Н. Колмогорова[9] сформулируем основные и свойства меры Лебега.

Рассмотрим систему Ϭ множеств на плоскости (х,у), каждое из которых определяется одним из неравенств вида

и одним из неравенств вида

где а,b, с и d — произвольные числа. Множества, принадлежащие этой системе, мы будем называть прямоугольниками. Замкнутый прямоугольник, определяемый неравенствами

представляет собой прямоугольник в обычном смысле (вместе с границей), если а < d и с < d, отрезок (если а =b и с < d или а <b и с =d), точку (при а =b, с =b) и, наконец, пустое множество (если а >b или с > d). Открытый прямоугольник

будет в зависимости от соотношений между а,b, с и d прямоугольником без границы или пустым множеством. Каждый из прямоугольников остальных типов (назовем их полуоткрытыми) представляет собой настоящий прямоугольник без одной, двух или трех сторон, интервал, полуинтервал, либо, наконец, пустое множество.

Класс всех прямоугольников на плоскости обозначим Ϭ.

Для каждого из прямоугольников определим его меру в соответствии с известным из элементарной геометрии понятием площади.

Именно:

а)мера пустого множества равна 0;

б)мера непустого прямоугольника (замкнутого, открытого или полуоткрытого), определяемого числами а,b, с и d, равна

Таким образом, каждому прямоугольнику Р из 6 поставлено в соответствие число т(Р) — его мера; при этом выполнены следующие условия:

1)мера ᶆ(Р) принимает действительные неотрицательные значения;

2)мера ᶆ (Р) аддитивна, т.е. еслии

при ,то

Наша задача — распространить, с сохранением свойств 1) и 2), меруm(Р), определенную пока для прямоугольников, на более широкий класс множеств.

Сначала мы распространим меру на так называемые элементарные множества. Назовем плоское множество элементарными, если его можно представить хотя бы одним способом как объединение конечного числа попарно непересекающихся прямоугольников.

Для дальнейшего нам понадобится следующая теорема.

Теорема 1. Объединение, пересечение, разность и симметрическая разность двух элементарных множеств также являются элементарными множествами.

Доказательство.  Ясно, что пересечение двух прямоугольников есть снова прямоугольник. Поэтому, если

 ,

два элементарных множества, то и их пересечение

— элементарное множество.

Разность двух прямоугольников есть, как легко проверить, элементарное множество. Следовательно, вычитая из прямоугольников некоторое элементарное множество, мы снова получим элементарное множество (как пересечение элементарных). Пусть теперь множества А и В — элементарные. Найдется, очевидно, прямоугольник Р, содержащий каждое из них. Тогда множество

в силу сказанного выше будет элементарным. Отсюда и из равенств

,

следует, что разность и симметрическая разность элементарных множеств являются элементарными множествами. Теорема доказана.

Определим теперь меруm'(А) для элементарных множеств следующим образом: если

где Pk - попарно непересекающиеся прямоугольники, то

Покажем, чтоm'(А) не зависит от способа разложения А в сумму конечного числа прямоугольников.  Пусть

где Pk и Qj — прямоугольники, ипри

. Так как пересечениедвух прямоугольников есть прямоугольник, то, в силу аддитивности меры для прямоугольников,

В частности, для прямоугольников мераm' совпадает с исходной меройm.

Легко видеть, что определенная таким образом мера элементарных множеств неотрицательна и аддитивна.

Установим следующее важное свойство меры элементарных множеств.

Теорема 2. Если А — элементарное множество и {Аn} — конечная или счетная система элементарных множеств такая, что

то,

                                                                                                                   (1)

Доказательство.  Для любого е > 0 и данного А можно, очевидно, найти такое замкнутое элементарное множество А, которое содержится в А и удовлетворяет условию

(Достаточно каждый из к составляющих А прямоугольников Pi заменить лежащим внутри него замкнутым прямоугольником с площадью большей, чем. )

Далее, для каждого Аn можно найти открытое элементарное множество Аn, содержащее Аn и удовлетворяющее условию

Ясно, что

Из {Аn} можно (по лемме Гейне-Боре ля) выбрать конечную систему

, покрывающую А.  При этом, очевидно,

(так как иначе А оказалось бы покрытым конечным числом прямоугольников, суммарной площади меньшей, чемm'(А), что невозможно). Поэтому

откуда в силу произвольности > 0 вытекает (1).

Свойство мерыm', устанавливаемое теоремой 2 (мера множеств не превосходит суммы мер покрывающих его множеств, взятых в конечном или счетном числе), называется полуаддитивностью. Из него вытекает свойство так называемой счетной аддитивности, или Ϭ - аддитивности, состоящее в следующем.

Пусть элементарное множество А представлено как сумма счетного числа непересекающихся элементарных множеств Аn

(n= 1,2,...):

тогда

(т. е. мера суммы счетного числа непересекающихся слагаемых равна сумме мер).

Действительно, в силу аддитивности при любом N имеем:

Переходя к пределу при N , получаем

В силу теоремы 2 имеет место и противоположное неравенство. Таким образом, Ϭ - аддитивность мерыm’ доказана.

1.2ЛЕБЕГОВА МЕРА ПЛОСКИХ МНОЖЕСТВ

Элементарные множества не исчерпывают всех множеств, которые встречаются в геометрии и в классическом анализе. Поэтому естественно попытаться распространить понятие меры, с сохранением ее основных свойств, на класс множеств более широкий, чем конечные объединения прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат.

Решение этой задачи, в известном смысле окончательное, было дано А. Лебегом в начале XX века.

При изложении теории меры Лебега нам придется рассматривать не только конечные, но и бесконечные объединения прямоугольников. Для того чтобы при этом сразу же не столкнуться с множествами «бесконечной меры», ограничимся сперва множествами, целиком принадлежащими квадрату

На совокупности всех таких множеств определим функцию μ* (A)

следующим образом.

Определение 1. Внешней мерой множества А называется число

где нижняя грань берется по всевозможным покрытиям множества А конечными или счетными системами прямоугольников.

Замечания. 1.Если бы мы в определении внешней меры рассматривали покрытия, состоящие не только из прямоугольников, но из

любых элементарных множеств (взятых в конечном или счетном числе), то мы получили бы, очевидно, то же самое значение  μ* (А), поскольку всякое элементарное множество есть сумма конечного числа прямоугольников.

2. Если А — элементарное множество, то μ* (А) =m'(А). Действительно, пусть P1, ... , Рп — составляющие А прямоугольники.

Тогда, по определению,

Так как прямоугольники Pi покрывают А, то.

Но если {Qj} — произвольная конечная или счетная система прямоугольников, покрывающая А, то в силу теоремы 2

поэтому

Теорема 3. Если ,

где Аn — конечная или счетная система множеств, то

                                                                                                                      (2)

В частности, если Аc В, то

Доказательство. По определению внешней меры, для каждого Аn найдется такая система прямоугольников {Рnk}, конечная

или счетная, что и

где ε > 0 выбрано произвольно. Тогда

Поскольку ε> 0 произвольно, отсюда вытекает утверждение теоремы.

Так как на элементарных множествах m’ и μ* совпадают, то теорема 2 представляет собой частный случай теоремы 3.

Определение 2. Множество А называется измеримым (в смысле Лебега), если для любого ε> 0 найдется такое элементарное множество В. что

Функция μ*, рассматриваемая только на измеримых множествах,

называется лебеговой мерой. Будем обозначать ее через μ.

Замечание. Введенное нами определение измеримости имеет достаточно наглядный смысл. Оно означает, что множество измеримо, если его можно «сколь угодно точно приблизить» элементарными множествами.

Итак, мы определили некоторый класс   множеств, называемых измеримыми, и функцию μ, меру Лебега, на этом классе. Наша ближайшая цель — установить следующие факты:

1.Совокупность  измеримых множеств замкнута относительно операций взятия конечных или счетных сумм и пересечений.

2.Функция μ Ϭ-аддитивна на.

Нижеследующие теоремы представляют собой этапы доказательства этих утверждений.

Теорема 4. Дополнение измеримого множества измеримо.

Это сразу следует из равенства

(Е \ А)  (Е \ В) = А  В,

которое проверяется непосредственно.

Теорема 5. Сумма и пересечение конечного числа измеримых множеств суть измеримые множества.

Доказательство. Достаточно провести доказательство для двух множеств. Пусть А1 и А2 — измеримые множества. Это значит,

что для любого еε> 0 найдутся такие элементарные множества В1

и B2, что

Так как

то

Но В1 UB2 — элементарное множество, поэтому множество A1 U А2

измеримо.

Измеримость пересечения двух измеримых множеств вытекает

из теоремы 4 и соотношения

                                                                            (4)

Следствие. Разность и симметрическая разность двух измеримых множеств измеримы.

Это вытекает из теорем 4 и 5 и равенств

Теорема 6. Если

попарно непересекающиеся измеримые множества, то

                                                                                          (5)

Для доказательства этой теоремы нам понадобится следующая лемма.

Лемма. Для любых двух множеств А и В

Доказательство леммы. Так как

то в силу теоремы 3

Отсюда вытекает утверждение леммы в случае μ*(А) μ*(В). Если же μ*(А)  μ*(B), то утверждение леммы вытекает из неравенства

устанавливаемого аналогично.

Доказательство теоремы 6. Как и в теореме 5, достаточно рассмотреть случай двух множеств. Выберем произвольное ε > 0 и такие элементарные множества В1 и В2, что

Положим и. Множество А измеримо в силу теоремы 5. Так как множества А1 и А2 не пересекаются, то

и, следовательно,

(8)

В силу леммы из (6) и (7) вытекает, что

                                                                               (9)

(10)

Так как на совокупности элементарных множеств мера аддитивна,

то из (8)-(10) получаем

Заметив еще, чтоимеем, наконец,

.

Так как ε > 0 может быть выбрано произвольно малым, то

Поскольку противоположное неравенство

справедливо (в силу теоремы 3) всегда, окончательно получаем

так как А1, А2 и А измеримы, то здесь μ* можно заменить на μ.

Теорема доказана.

Из этой теоремы, в частности, следует, что для всякого измеримого А

Теорема 7. Сумма и пересечение счетного числа измеримых

множеств суть измеримые множества.

Доказательство. Пусть

- счетная система измеримых множеств и . Положим

Ясно, что, причем множества Аnпопарно не пересекаются. В силу теоремы 5 и следствия из нее все множества А'n измеримы. В силу теоремы б и определения внешней меры при любом конечномn

поэтому ряд

сходится и, следовательно, для любого ε > 0 найдется такое N, что

Так как множество  измеримо (как сумма конечного чиcла измеримых множеств), то для него найдется такое элементарное множество В, что

                                                                            (12)

Поскольку

то из (11) и  (12) вытекает

,

т. е. А измеримо.

Так как дополнения измеримых множеств измеримы, то утверждение теоремы относительно пересечений вытекает из равенства

Теорема 7 усиливает теорему 5. Следующая теорема представляет собой аналогичное усиление теоремы 6.

Теорема 8. Если {Аn}—последовательность попарно непересекающихся измеримых множеств и , то

Доказательство. В силу теоремы 6 при любом N

Переходя к пределу при , получаем

                                                                                                                (13)

С другой стороны, согласно теореме 3

Из (13) и (14) вытекает утверждение теоремы.

Установленное в теореме 8 свойство меры было названо ее счетной аддитивностью, или Ϭ- аддитивностью. Из Ϭ-аддитивности вытекаетследующее свойство меры, называемое непрерывностью.

Теорема 9. Если-последовательность вложенных друг в друга измеримых множеств и , то

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай А = ; общий случай сводится к этому заменой Аn на An \ А. Имеем

причем слагаемые не пересекаются. Поэтому, в силу Ϭ-аддитивности μ

                                                                                          (15)

                                                                                        (16)

так как ряд (15) сходится, то его остаток (16) стремится к 0 при

. Таким образом,

при,

что и требовалось доказать.

Следствие. Если -  возрастающая последовательность измеримых множеств и

,

то

Для доказательства достаточно перейти от множеств Аn к их дополнениям и воспользоваться теоремой 9.

Отметим в заключение еще одно очевидное, но важное обстоятельство. Всякое множество А, внешняя мера которого равна 0, измеримо. Достаточно положить В = ; тогда

Итак, мы распространили меру с элементарных множеств на более широкий класс , замкнутый относительно операций взятия счетных сумм и пересечений, т. е. представляющий собой Ϭ-алгебру.

Построенная мера Ϭ-аддитивна на этом классе. Установленные выше теоремы позволяют составить следующее представление о совокупности измеримых по Лебегу множеств.

Всякое открытое множество, принадлежащее Е, можно представить как объединение конечного или счетного числа открытых прямоугольников, т. е. измеримых множеств, и в силу теоремы 7 все открытые множества измеримы. Замкнутые множества суть дополнения открытых, следовательно, они тоже измеримы. Согласно теореме 7 измеримыми должны быть и все те множества, которые могут быть получены из открытых и замкнутых с помощью конечного

или счетного числа операций взятия счетных сумм и пересечений.

Можно показать, однако, что этими множествами все измеримые множества еще не исчерпываются.

ГЛАВА 2 ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ ТЕОРИИ   МЕРЫ ЛЕБЕГА

2.1ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА ПО ЛЕБЕГУ

Длина отрезка   оси абсцисс численно равна площади построенного на нем прямоугольника [5] высоты, равной 1, т. е. интегралу от функции

По аналогии назовем числовое множествоE  измеримым по Лебегу, если функция

интегрируема по Лебегу. Такую функцию  будем называть характеристической функцией множества Е . Числоназовем мерой Лебега множества Е и обозначим |E|.

Пример 1. функция Дирихле интегрируема, причем интеграл от нее равен нулю. Эта функция является характеристической для множества рациональных чисел (равна единице для рациональных чисел и нулю для остальных). Значит, множество рациональных чисел измеримо, причем его мера Лебега равна нулю: | Q| = 0.

Точно так же можно убедиться, что измеримо и множество  рациональных чисел любого отрезка , причем || = 0.

Пример 2. Функция Кантора k— характеристическая функция канторова троичного множества  . Так как k интегрируема иI (k) = 0, то множество  измеримо, причем || = 0.

Поскольку мера множества — обобщение понятия длины отрезка, то естественно ожидать, что мера обладает важнейшими свойствами длины. Убедимся, что это действительно так.

Теорема 1. Мера любого измеримого множества неотрицательна.

Доказательство. Так как характеристическая функция   измеримого множества Е интегрируема и неотрицательна, то имеем: |Е|= I () 0.

Теорема 2 (свойство монотонности меры). Если множества А и В измеримы и А включает в себя В, то |А |  | В|.

Доказательство. Так как А включает в себя  В, то

при любомx, а в таком случае справедливость нашего утверждения

вытекает из теоремы, о том, что  f — сумма сходящегося при всех х функционального ряда  — неотрицательная- малая функция. Тогда функция f является ε-малой.

Теорема 3 (свойство аддитивности меры). Если множества

измеримы и попарно не пересекаются, то и их объединение Е измеримо, причем

Доказательство. Обозначим через характеристические функции множеств . По условию эти функции интегрируемы. Значит, интегрируема и сумма этих функций X. Но множества  попарно не пересекаются. Поэтому

X (х) = 1 при и X (х) = 0 при хне принадлежащего E, т. е. функция X является характеристической для множества Е. Измеримость Е доказана.

Одновременно Теорема 3 может быть обобщена и на случай счетной совокупности множеств.

Теорема 4 (свойство счетной аддитивности меры). Если множества попарно не пересекаются и измеримы, а ряд

сходится, то множество также измеримо,

причем

Доказательство. Рассмотрим функциональный ряд , где — характеристическая функция множества . Пусть х  Е. Так как множества   (nN) попарно не пересекаются, то найдется, и притом единственный, номер k такой, что х  .

Это означает, что . Отсюда следует, что частичные суммы числового ряда , начиная с k-й, равны 1. Поэтому рассматриваемый функциональный ряд при таких х сходится к числу 1. Если же х не принадлежит Е, то х не принадлежит ни одному из множеств  ,а это означает, что при всехk. При таком х наш функциональный ряд сходится к нулю.

Итак, ряд  сходится при любом х к характеристической

функции X множества Е. Вытекающая из условий теоремы интегрируемость функцийи сходимость ряда позволяет воспользоваться теоремой о том что, если функцияf — сумма сходящегося наR

ряда  , составленного из интегрируемых функций, причем число-

вой ряд  сходится. Тогда функцияf интегрируема, причем

. Из нее и следует, что функция X

интегрируема (т. е. Е измеримо), причем

Следствие. Если множествапопарно не пересекаются и измеримы, а их объединение ограничено, то оно измеримо и

Доказательство. Так как множество Е ограничено, то оно принадлежит некоторому отрезку  F. Но тогда ивключает в себяF при любом k. В силу аддитивности и монотонности меры это означает, что . Отсюда следует, что неубывающая последовательность частичных сумм ряда ограничена сверху. Значит, этот ряд сходится и справедливость следствия вытекает из предыдущей теоремы.

Пример 3. Пусть Е — множество чисел отрезка F = [0; 1], десятичное разложение которых невозможно без цифры 7. Покажем, что измеримо, и

найдем его меру.

Выясним, как устроено множество Е. Для этого отберем сначала множество

тех чисел из F, в десятичном разложении которых первой цифрой после запятой будет непременно цифра 7. Ясно, что  состоит из одного интервала1 [0,7; 0,8] длины 0,1. Затем изF \  отберем множество  тех чисел, в десятичном разложении которых второй цифрой после запятой будет непременно цифра 7. Ясно, что  состоит из девяти интервалов ([0,07; 0,08],[0,17; 0,18], ..., [0,67; 0,68],[0,87; 0,88], [0,97; 0,98]) длины 0,01 каждый.

Аналогично обнаружим, что те числа из ,в десятичном разложении которых на третьем месте после запятой окажется непременно цифра 7,

составляют множествоявляющееся объединением 81 интервала длиной

0,001 каждый, и т. д. Ясно, что. Так как множества  — как объединения конечного числа интервалов — измеримы и попарно не пересекаются, то в силу следствия из теоремы 4 множество Е измеримо, причем

Теорема 5. Объединение, пересечение и разность двух измеримых множеств измеримы.

Доказательство. Пусть  где  и  — измеримые множества. Обозначим через  и  характеристические функции множеств  и . Эти функции интегрируемы. Тогда интегрируема и функция X =  +- 1, а значит, интегрируема и ее срезка , которая, очевидно, и является характеристической функцией множества Е. Измеримость пересечения доказана.

Интегрируема и функция  +- , которая, как легко проверить, является характеристической функцией для , откуда и вытекает измеримость объединения. Измеримость разности \  вытекает из того, что ее характеристической функцией является  — .

Пример 4. Множество  иррациональных чисел любого отрезка Е измеримо, причем .

В самом деле, , где  — множество рациональных чисел отрезка Е. Поэтому измеримость рассматриваемого множества вытекает из теоремы 5 в силу измеримости отрезка и множества  (см. пример 1). Так как далее,  то из теоремы  3 следует, что

Теорема 6. Если множестваизмеримы и меры

множеств при любомn ограничены сверху некоторым

числом М, то множество измеримо.

Доказательство. Положимпри . Из теоремы  5 получаем с помощью математической индукции, что все множества  измеримы, а потому и все  измеримы. Но так как , то, причем попарно не пересекаются. При этом знакоположительный ряд  сходится, так как его частичные суммы ограничены сверху числом М:

По теореме 4 получаем, что множество Е измеримо.

Теорема 7. Если множестваизмеримы, то и множество измеримо.

Доказательство. По теореме 5 все множества измеримы. При этом  включает в себя   а потому совокупность

чиселограничена сверху числом | |. По теореме 6 получаем, что множествоизмеримо, а значит, измеримо и множество  \ Т. Но это множество получается удалением из множества  всех элементов, не принадлежащих хотя бы одному из множеств , а потому в него входят лишь элементы, принадлежащие всем . Таким образом, измеримое множество

\ Т совпадает с множествомE, откуда и следует измеримость Е.

Теорема 8. Если множества измеримы, причем и числовая последовательность  ограничена, то множествоизмеримо, последовательность ()сходится и.

Доказательство. Сходимость последовательности  ()вытекает из ее ограниченности и монотонности. Рассмотрим

вспомогательные множества:  при .

Эти множества измеримы, попарно не пересекаются, а их объединение равно Е. Так как  , то  , а это означает, что   есть n-я частичная сумма ряда.Из ограниченности последовательности  () вытекает сходимость рассматриваемого ряда. Но в таком случае последовательность множеств  ()удовлетворяет всем условиям теоремы 4, из которой и вытекает,

что Е измеримо, причем

Пример 5. Любое ограниченное открытое множество G измеримо. В самом деле, множество G является объединением конечного или счетного числа попарно непересекающихся интервалов . А так как каждый интервал измерим (его характеристическая функция ступенчата), то измеримость G вытекает из следствия теоремы 4.

Пример 6. Любое ограниченное замкнутое множество F измеримо.  Действительно, пусть . Тогда F = [i; s]\G, где G открыто. Поэтому F измеримо как разность двух измеримых множеств.

2.2 МНОЖЕСТВА МЕРЫ НУЛЬ

В теории интеграла особую роль играют множества нулевой меры. Изучим их свойства.

Пусть Е — множество нулевой меры, а F — его подмножество. Тогда выполняются соотношения:

которые означают, что функция  интегрируема и . Поэтому справедливо следующее утверждение:

Теорема 9. Всякое подмножество множества меры нуль измеримо, и его мера равна нулю.

Теорема 10. Объединение конечного или счетного числа множеств нулевой меры измеримо и имеет нулевую меру.

Доказательство. Пусть , где |  |=0 (случай объединения конечного числа множеств можно свести к рассматриваемому, положив  при k > n). Положим .

Очевидно, выполняется соотношение

,

при любом х. А так как, по условию,

,

то из теоремы 7 вытекает, что  измеримо и . Но , причем..Тогда в силу теоремы  8 множество Е измеримо, причем

Из доказанного утверждения вытекает, в частности, что любое счетное множество — множество меры нуль: оно является объединением счетной совокупности точек, а мера каждой точки равна нулю.

В дальнейшем будем говорить, что некоторое свойство выполняется почти всюду на множестве Е, если оно выполняется для всех , за исключением, быть может, множества меры нуль. Например, можно сказать, что ступенчатая функция почти всюду (на прямой) непрерывна, функция Дирихле почти всюду (на прямой) равна нулю.

В курсе интегрального исчисления изучались различные условия интегрируемости функции по Риману. Понятие меры Лебега позволяет дать исчерпывающую характеристику класса интегрируемых по Риману функций. Лебег доказал, что для интегрируемости по Риману функции, ограниченной на отрезке, необходимо и достаточно, чтобы функция была почти всюду непрерывна на этом отрезке.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной курсовой работе были рассмотрены определения, свойства, теоремы и различные примеры касающиеся Меры Лебега.

В ходе выполнения курсовой работы была достигнута поставленная цель и выполнены задачи исследования – проведен анализ существующей литературы с целью выявления и обобщения сведений об основных понятиях и свойствах меры Лебега, составлено практическая часть, содержащая в себе примеры по данной теме исследования. Меру можно сопоставлять множествам произвольной природы. Следует отметить, что имеется немало разных подходов к построению меры Лебега, но (при отсутствии ошибок) все они приводят к одному результату.

Выводы:

- Произведен анализ существующей литературы и источников.

-Изучены основные свойства и понятия меры Лебега.

-Показаны примеры по данной теме.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

  1. [Электронный Ресурс] Режим доступа: свободный. – (Дата обращения: 15.06.2012).http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node10.html
  2. А.Лебег,[Текст] Об измерении величин - Государственное учебно-педагогическое издательство, 1960 - 204 с.
  3. В.И. Богачев[Текст]  – Основы теории меры Том 1
  4. ВИКИПЕДИЯ – [Электронный Ресурс] Режим доступа: свободный. – (Дата обращения: 15.06.2012).http://ru.wikipedia.org/wiki/Мера_Лебега
  5. Виленкин Н.Я., Петров В.А. [Текст] - Математический анализ.
  6. Г.И Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков [Текст]  – ЛЕЦИИ по математическому анализу: Учебник для вузов; Дрофа, 2004.-640 с. – (Высшее образование: Современный учебник).
  7. Дьяченко М.И. Ульянов П.Л. [Текст]  Мера и интеграл - Москва "Факториал" 1998
  8. И П  Натансон , [Текст]  Теории функций вещественной переменной -  Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1974.
  9. И П  Натансон , [Текст]  Теории функций вещественной переменной -  Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1950.
  10. Колмогоров А.Н., Фомин С.В., [Текст]  теории функций и функционального анализа. — 7-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. —572 с. - ISBN 5-9221-0266-4.
  11. Макаров А.П. [Текст]  -Мера и интегралЛебега
  12. МАТЕМАТИКА – [Электронный Ресурс] Режим доступа: свободный. – (Дата обращения: 15.06.2012).http://ru.math.wikia.com/wikiМера_Лебега
  13. Математический сборник, [Текст]  новая серия, том 25(67), выпуск 1, М.: Издательство Академии наук СССР, 1949, - 44 c
  14. Мухин В.В., Ющенко Д.П. [Текст]  -Мера и интегралЛебега 1988
  15. Халмош П.Р. [Текст] - Теориямеры , издатель Факториал Пресс.