Материалы для студентов→ Курсовая работа /

Моделирование полосно-пропускающего фильтра чебышева

Скачать файл
Добавил: fafnir
Размер: 256.37 KB
Добавлен: 14.02.2015
Просмотров: 2581
Закачек: 4
Формат: docx
Посмотреть документ в хорошем качестве (с картинками, формулами, таблицами)

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Робототехника и Мехатроника»

УТВЕРЖДАЮ

Зав. каф. Лукъянов Е.А.

"______"________2011 г.

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

К курсовой работе по дисциплине «Моделирование систем» на тему: «Моделирование полосно-пропускающего фильтра Чебышева»_________________________________________________

Автор работы: Балала Евгений Владимирович__________________________________________

Специальность: Мехатроника_____________________Группа УМ-31______________________

Руководитель проекта:______________________________________________________________

(подпись)(Ф.И.О.)

Работа защищена _______________________         _______________________________

(дата)  (оценка)

Члены комиссии ________________________          _______________________________

(подпись)(Ф.И.О)

    ________________________           _______________________________

(подпись)(Ф.И.О)

    ________________________             _______________________________

(подпись)(Ф.И.О)

Ростов-на-Дону

2011

2

0402.91.0000.000ПЗ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Робототехника и Мехатроника»

 УТВЕРЖДАЮ

Зав. каф. Лукъянов Е.В.

                                                                                                                    "______"________2011 г.

ЗАДАНИЕ

на курсовую работу

Студент: Балала Е.В.____________________________Код________Группа  УМ-31________

Тема: «Моделирование полосно-пропускающего фильтра Чебышева»__________________

____________________________________________________________________________________________

Срок представления работы к защите "________"___________________________2011 г.

Исходные данные для проектирования: b=1.4256; c=1.5162;  fc (частота среза фнч-прототипа) = 1000 Гц;  fn (нижняя частота) = 1000 Гц; fv (верхняя частота) = 3000 Гц;  Проектирование цифрового и аналогово фильтра методом инвариантного преобразования__________________

1 Содержание пояснительной записки курсовой работы: Введение; Теория фильтров электрических сигналов; Описания программы: Заключение; Список используемых источников; Приложение___________________________________________________________

2  Перечень графического материала: ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Руководитель работы  Гоннонченко А. С.______________________________________________

                                           подпись, дата (фамилия, инициалы)

Задание принял к исполнению ________________________________________________

Содержание

ВВЕДЕНИЕ4

1 ТЕОРИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ФИЛЬТРОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ5

1.1 Назначение и типы фильтров5

1.2 Аппроксимация и характеристики фильтров8

1.3 Методы моделирования дискретных БИХ-фильтров 11

        1.3.1 Метод инвариантного преобразования11

        1.3.2 Метод билинейного преобразования13

        1.3.3 Частотные преобразования дискретных БИХ-фильтров14

2 ОПИСАНИЕ ПРОГРАММЫ16

2.1 Функциональное назначение16

2.2 Описание логической структуры17

2.3 Используемые технические средства18

   2.4 Вызов и загрузка18

2.5 Входные и выходные данные19

ЗАКЛЮЧЕНИЕ20

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ21

Приложение А  Код программы22

Приложение Б  Графики ЛАЧХ, ЛФЧХ и времени задержки23

3

0402.91.0000.000ПЗ

4

0402.91.0000.000ПЗ

Введение

Фильтрация представляет собой одну из самых распространенных операций обработки сигналов. Цель фильтрации состоит в подавлении помех, содержащихся в сигнале, или в выделении отдельных составляющих сигнала, соответствующих тем или иным свойствам исследуемого процесса.

В электрических и электронных измерительных устройствах уже давно находят применение различные типы RLC-фильтров. С появлением доступных и дешевых интегральных операционных усилителей получили широкое распространение активные фильтры. Теория этих фильтров разработана достаточно хорошо, сформулированы четкие рекомендации по их расчету и проектированию. Прогресс в развитии цифровых интегральных схем, повсеместное применение микропроцессоров для цифровой обработки измерительной информации обусловили интерес разработчиков измерительной аппаратуры к цифровым фильтрам. Теория этих фильтров сформировалась относительно недавно, вопросам их анализа и синтеза посвящено большое число книг, в которых неискушенному читателю разобраться подчас весьма не просто.

Активные фильтры и цифровые фильтры — это устройства, которые используются в различных областях техники. В последние десятилетия интенсивно развивались также методы фильтрации, специфичные именно для измерительной техники. Это методы, основанные на реализации специальных весовых функций. Получаемые при этом фильтры очень близки по своим свойствам к цифровым фильтрам, но могут быть установлены как в цифровой, так и в аналоговой части средства измерения.

Цель данной работы заключается в  моделировании двух полосно-пропускающих фильтров – аналогового и цифрового, на основе начальных данных посредством программы MATLAB.

1 ТЕОРИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ФИЛЬТРОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

1.1 Назначение и типы фильтров

Фильтры — это устройства, целенаправленным образом изменяющие спектры сигналов. Фильтрация сигнала, т. е. изменение его спектра, обычно предпринимается с целью увеличить отношение, полезного сигнала к шумам и помехам или подчеркнуть (усилить) какие-нибудь полезные качества сигнала. Например, при измерении сигналов, получаемых от термопар, чаще всего приходится применять фильтры, ослабляющие сетевые помехи. Выходной полезный сигнал термопар составляет, как правило, несколько милливольт, и помеха от силовой сети, имеющая частоту 50 Гц, может быть сравнимой с полезным сигналом или даже превосходить его. Другой пример — фильтрация сигнала, получаемого от датчика момента, развиваемого двигателем некоторого транспортного средства. Выделяя с помощью фильтра постоянную составляющую этого сигнала, мы получаем информацию о средней мощности двигателя. Если же выделить и проанализировать высокочастотные составляющие сигнала, то можно сделать вывод о качестве работы системы регулирования, о вибрации, обусловленной работающим двигателем, и т. п.

Классификация фильтров может быть проведена по различным признакам. Мы будем использовать при разделении фильтров по группам четыре различных признака, указанные ниже.

Первый признак—вид входного и выходного сигнала  фильтра.  Если эти сигналы аналоговые, то описываются аналоговыми функциями, если же они представлены цифровым кодом, то фильтр называется цифровым. Возможны и промежуточные варианты: аналого-цифровой фильтр (вход аналоговый, выход цифровой) и цифроаналоговый (вход цифровой, выход аналоговый).

5

0402.91.0000.000ПЗ

Второй признак—вид частотной характеристики. По этому признаку фильтры делятся на следующие группы: фильтры нижних частот (ФНЧ) пропускают низкочастотные составляющие спектра и задерживают высокочастотные; фильтры верхних частот (ФВЧ) пропускают только высокочастотные составляющие; фильтры полосно-пропускающие (ФПП) пропускают составляющие сигнала только в определенной полосе частот; фильтры полосно-заграждающие (ФПЗ) пропускают все составляющие сигнала, за исключением тех, частоты которых входят в определенную полосу; фильтра всепропускающие (ФВП) пропускают все без исключения

6

0402.91.0000.000ПЗ

составляющие сигнала, но изменяют фазовые соотношения между ними.

Рисунок 1.1 Амплитудно-частотные характеристики различных фильтров

Графики АЧХ упомянутых видов фильтров показаны на рисунке 1.1, а, б, в, г, д. Кроме перечисленных, основных по этому признаку, групп, есть и другие разновидности. Например, резонансный фильтр представляет собой частный случай полосно-пропускающего фильтра, но с очень узкой полосой пропускания (штриховая АЧХ на рисунке 1.1, в). Фильтр-пробка на определенную частоту—это  ФПЗ  с узкой полосой  заграждения (штриховая АЧХ на рисунке 1.1, г). Есть и такой фильтр, который имеет несколько полос пропускания (рисунок 1.1, е). В название фильтра входит обычно та частотная полоса, которую фильтр пропускает. Так, фильтр нижних частот—это фильтр, пропускающий нижние частоты сигнала. Поэтому не совсем корректны встречающиеся иногда словосочетания типа «фильтрация помех». Фильтруется, т. е. проходит через фильтр, полезный сигнал, а помеха задерживается, не пропускается.

Отметим, что в качестве базового при анализе и синтезе фильтров обычно принимается фильтр нижних частот. Именно ФНЧ, как правило, рассматривается в различных публикациях, для него разрабатываются  методики  синтеза.

Рисунок 1. 2 Возможные структуры фильтра верхних частот (а) и полосно-заграждающего фильтра (б)

 Остальные же  виды фильтров могут быть построены на основе ФНЧ. Так, если из полного сигнала вычесть выходной сигнал ФНЧ, то в итоге мы получим ФВЧ (рисунок 1.2 ,а). ФПЗ можно построить, если включить параллельно ФНЧ и ФВЧ с разными частотами среза (рисунок 1.2,6). Для построения ФПП достаточно соединить последовательно соответствующим образом рассчитанные ФНЧ и ФВЧ.

Третий признак, по которому различают разные типы фильтров, — это вид их импульсных характеристик. Непрерывный фильтр — это фильтр с непрерывной импульсной характеристикой, дискретный фильтр — это фильтр, импульсная характеристика которого представлена набором 6-импульсов. Наконец, импульсный фильтр имеет импульсную характеристику, состоящую из последовательности одинаковых по форме импульсов конечной длительности разной амплитуды. В

7

0402.91.0000.000ПЗ

принципе возможны фильтры, при классификации которых по данному признаку возникают некоторые затруднения, но такие фильтры на практике встречаются редко.

Если ИХ финитна, т. е. ограничена во времени, то такие фильтры называют фильтрами с конечной импульсной характеристикой или коротко КИХ-фильтрами. Если ИХ, хотя и затухает со временем, но имеет теоретически не ограниченную во времени протяженность, то соответствующий  фильтр  называют  БИХ-фильтром, т.  е. фильтром с бесконечной импульсной характеристикой.

Рисунок 1. 3 Примеры импульсных характеристик импульсного (а) и дискретного (б) фильтров

На рисунке 1.3 в качестве примера показаны импульсные характеристики двух видов фильтров: импульсного КИХ-фильтра (рисунок 1.3, а) и дискретного БИХ-фильтра (рисунок 1.3,6).

Теория фильтрации сигналов и методы построения фильтров в настоящее время весьма развиты. Существует очень большое число различных видов фильтров, здесь же описаны только наиболее типичные. В частности, существуют также нелинейные фильтры, т. е. фильтры, для которых не выполняется принцип суперпозиции; нестационарные фильтры, особенностью которых является то, что их импульсная характеристика представляет собой функцию двух аргументов: реакция фильтра на входной б-импульс зависит не только от времени, прошедшего с момента приложения этого б-импульса, но также и от момента прихода этого импульса, определяемого относительно некоторого начала отсчета. В ряде простых случаев нестационарные фильтры могут быть сведены к стационарным. Например, усредняющий фильтр, производящий однократное интегрирование сигнала за некоторый ограниченный промежуток времени, может рассматриваться как вариант фильтра со скользящим усреднением.

1.2 Аппроксимация и характеристики фильтров

Активные фильтры состоят из активных элементов — операционных усилителей и пассивных элементов — резисторов и конденсаторов. Катушки индуктивности вследствие их нетехнологичности и больших потерь в таких фильтрах обычно не применяют. В соответствии с классификацией активные фильтры — это аналоговые непрерывные БИХ-фильтры.

В качестве базового фильтра при анализе обычно используют фильтр нижних частот. Идеальный фильтр нижних частот имеет постоянный конечный коэффициент передачи в полосе частот от нуля до частоты среза и равный нулю коэффициент передачи при частотах, лежащих выше частоты среза. Однако идеальный фильтр физически нереализуем: его импульсная характеристика простирается во времени от -∞ до +∞.

Передаточные функции активных фильтров представляют собой в общем случае отношение двух операторных полиномов. Аппроксимация характеристик активных фильтров сводится к выбору таких коэффициентов этих полиномов, которые обеспечивают наилучшее в том или ином смысле приближение к желаемой амплитудно-частотной (АЧХ) или фазо-частотной (ФЧХ) характеристике фильтра.

8

0402.91.0000.000ПЗ

Наиболее широко применяются следующие типы активных фильтров, отличие которых друг от друга обусловлено различным подходом к нахождению наилучшей аппроксимации: фильтры Баттерворта, Чебышева, инверсный Чебышева, Кауэра (эллиптический), Бесселя.

Фильтр Баттерворта имеет АЧХ, квадрат которой определяется простым соотношением:

                                                              (1)

где (f)=f/fc — относительная частота; fc— частота среза; n — порядок фильтра.

Все производные функции (1) по частоте (f) от первой до (2n—1)-й включительно в точке (f) = 0 равны нулю. Поэтому фильтр Баттерворта называют фильтром с максимально плоской (или максимально гладкой) АЧХ.

Фильтр Чебышева имеет АЧХ, которая в полосе пропускания характеризуется пульсациями одинаковой амплитуды, поэтому его часто называют фильтром равноволновых пульсаций. За пределами полосы пропускания АЧХ этого фильтра монотонно уменьшается, причем крутизна спада АЧХ в этой области у фильтра Чебышева больше, чем у фильтра Баттерворта такого же порядка.

Квадрат АЧХ фильтра Чебышева определяется соотношением:

;                                                                (2)

где Tn (f) - полином Чебышева первого рода n-го но рядка, ε — некоторый постоянный коэффициент, задающий амплитуду пульсаций АЧХ.

Полином Чебышева n-го порядка может быть найден на основе рекуррентного соотношения                                    Tn(x) = 2xTn-1(x) – Tn-2(x)

Причем                                        T0(x) = 1; T1(x) = x:

В промежутке -1 < Х < I значения полинома Чебышева волнообразно изменяются между уровнями -1 и +1. При этом число полуволн на графике полинома на единицу меньше порядка полинома. При |x| = 1 всегда имеем |Тn(x)| = 1. При |x|> 1 модуль полинома Чебышева монотонно и неограниченно возрастает.

Инверсный фильтр Чебышева имеет АЧХ, которая монотонно изменяется в пределах полосы пропускания и пульсирует в полосе заграждения. Эта АЧХ описывается соотношением

;                                                              (3)

9

0402.91.0000.000ПЗ

Фильтр Кауэра (эллиптический фильтр) имеет амплитудно-частотную характеристику, пульсирующую как в полосе пропускания, так и в полосе заграждения. Квадрат АЧХ этого фильтра имеет вид

     ;                                                            (4)

где Rn(f) — рациональная функция, определяемая при четных n соотношением

                                              (5)

где k =n/2. При нечетных n в числитель правой части (1.2.5) добавляется множитель x, a k принимается равным (n—1)/2. Функция Rn(x) обладает следующим свойством:                                     Rn(1/x) = 1/Rn(x);

Параметры x1, x2…  имеют значения больше нуля и меньше единицы и выбираются таким образом, что в промежутке 0≤x≤xc(где xc < 1) обеспечиваются равноволновые пульсации функции Rn(x) между нулем и некоторым значением ∆. При этом в полосе пропускания квадрат АЧХ эллиптического фильтра (1.2.4) пульсирует между значениями 1 и 1/(1 + e2/∆2), а в полосе заграждения — между значениями 0 и 1/(1 +е2/∆2).

Эллиптический фильтр в сравнении со всеми другими типами фильтров имеет наиболее крутой спад АЧХ при переходе от полосы пропускания к полосе заграждения.

Фильтр Бесселя отличается от других описанных выше фильтров тем, что имеет хорошую фазочастотную характеристику. Проходящий через фильтр сигнал не изменит своей формы, если все гармоники сигнала будут задерживаться в фильтре на одно и то же время. Поскольку фазовый сдвиг измеряется в долях периода рассматриваемой гармоники, то постоянство времени задержки равносильно линейной частотной зависимости фазового сдвига сигнала в фильтре.

Фильтр Бесселя обеспечивает наилучшее приближение реальной ФЧХ к идеальной линейной зависимости. Зависимость времени запаздывания от частоты для фильтра Бесселя имеет такой же характер, как АЧХ для фильтра Баттерворта.

Передаточная функция фильтра Бесселя, определяется формулой

                                                                      (6)

где Bn(p) — полином Бесселя, который может быть найден на основе равенств

Bn(x) = (2n-1) Bn-1(x)+x2Bn-2(x);

B1(x)=x+1; B2(x)=x2+3x+3;

10

0402.91.0000.000ПЗ

Рисунок 1.4 Амплитудно-частотные характеристики фильтров нижних частот 4-го порядка (1 — Баттерворта; 2 — Чебышева; 3 — Бесселя; 4 — инверсный Чебышева; 5—Кауэра)

Соотношение между АЧХ различных типов фильтров можно наблюдать на примере АЧХ фильтров 4-го порядка, приведенных на рисунке 1.4.  Для фильтров Чебышева, инверсного Чебышева и Кауэра АЧХ зависит не только от порядка фильтра, но и от принятых параметров, определяющих пульсации АЧХ. В данном случае (рисунок 1.4) фильтры Чебышева и Кауэра имеют пульсации в полосе пропускания, равные 1 дБ, а в полосе заграждения инверсный фильтр Чебышева и фильтр Кауэра характеризуются колебаниями АЧХ в диапазоне от -∞ до -40 дБ.

11

0402.91.0000.000ПЗ

Сравнивая между собой различные типы фильтров, следует иметь в виду, что фильтры, характеризующиеся более крутым спадом АЧХ в переходной полосе, имеют обычно большее время установления выходного сигнала при скачкообразном изменении входного.

1.3  Методы моделирования дискретных БИХ-фильтров

Существует довольно много методов расчета дискретных БИХ-фильтров. Большинство из них основывается на проектировании дискретного варианта соответствующего непрерывного фильтра (прототипа). Существуют также и прямые методы, когда сразу проектируется дискретный БИХ-фильтр. Мы рассмотрим два наиболее употребимых метода: инвариантного преобразования импульсной характеристики и билинейного преобразования. Оба этих метода — непрямые, они предполагают наличие непрерывного фильтра-прототипа.

Метод инвариантного преобразования ИХ предполагает расчет дискретного фильтра, ИХ который представляет собой дискретизированную ИХ фильтра-прототипа. Дискретизация временной функции, как известно, приводит к тому, что спектр функции делается периодическим с периодом, равным частоте дискретизации. Поэтому при переходе от непрерывной ИХ к дискретной ИХ частотная характеристика фильтра начинает периодически повторяться со сдвигом, равным частоте дискретизации f2. Если частота f2 установлена достаточно высокой в сравнении с характерными частотами ЧХ фильтра-прототипа, то тогда дискретный фильтр по своим свойствам будет соответствовать непрерывному фильтру-прототипу.

Предположим, что передаточная характеристика фильтра-прототипа представлена в виде суммы простых дробей:

                                                             (7)

Этой передаточной характеристике соответствует ИХ, состоящая из суммы экспонент:

(8)

Дискретизированная импульсная характеристика g(n) может быть найдена из непрерывной импульсной характеристики (8) подстановкой в нее вместо непрерывного времени t дискретного времени tn = nТ2:

                                               (9)

Передаточная функция проектируемого дискретного фильтра — это Z-преобразование его дискретной импульсной характеристики (9):

                                                 (10)

Меняя в (10) порядок суммирования и находя сумму бесконечной геометрической прогрессии, получаем:

                                                         (11)

Таким образом, если известна передаточная функция непрерывного фильтра-прототипа, заданная в виде (7), то соответствующий дискретный фильтр будет иметь передаточную функцию (11). По найденной таким путем передаточной функции нетрудно составить схему дискретного БИХ-фильтра.

В качестве типового звена полиномиальных фильтров низких частот принято звено второго порядка, имеющее передаточную функцию:

                                                      (12)

Как нетрудно показать, при использовании метода инвариантного преобразования ИХ такой передаточной функции непрерывного фильтра будет соответствовать передаточная функция дискретного фильтра, имеющая вид:

                                                       (13)

12

0402.91.0000.000ПЗ

Здесь

                                    (14)

Соотношение (13) нормировано так, чтобы для нулевой частоты фильтр имел единичный коэффициент передачи.

Для иллюстрации метода инвариантного преобразования ИХ рассчитаем дискретный ФНЧ, используя в качестве прототипа непрерывный фильтр Чебышева второго порядка с частотой среза f2, равной 1 кГц, b с пульсацией АЧХ в полосе пропускания, равной 1 дБ.

                                              0       1        2       3        4        5        6      7     8    кГц

Рисунок 1.5 Амплитудно-частотные характеристики фильтра-прототипа (1) и синтезированных БИХ-фильтров (2—5)

Сравнивая кривые 1 и 2 видим, что наложение спектров, характерное для дискретного фильтра, приводит к ухудшению вида АЧХ фильтра в сравнении с фильтром-прототипом. Однако это ухудшение будет тем меньше, чем больше отношение частоты дискретизации f2 = 1/T2 к частоте среза фильтра fc. В данном случае f2/fc = 10. Если, например, выбрать f2/fc = 20, то тогда получим для дискретного фильтра АЧХ, представленную кривой 3 на рисунке 1.5. Эта кривая заметно ближе к кривой 1 (АЧХ фильтра-прототипа), чем кривая 2.

13

0402.91.0000.000ПЗ

Метод билинейного преобразования позволяет очень просто получить из передаточной функции G(p) непрерывного фильтра-прототипа передаточную функцию G(z) дискретного фильтра. Для этого достаточно сделать подстановку:

                                                              (15)

Физический смысл этой подстановки следующий. Оператор p используемый в преобразовании Лапласа — это символ дифференцирования. В дискретных системах в качестве приближенного значения производной можно использовать конечную разность:

                                                          (16)

Таким образом, выражению pХ(р) в преобразовании Лапласа можно в Z-преобразовании поставить в соответствие выражение[(1 - z-1)/T2]*X(z). Однако, как показывает анализ, лучшие результаты при проектировании дискретных БИХ-фильтров дает замена непрерывной производной соотношением:

Этому соотношению и соответствует билинейное преобразование (15).

В качестве примера рассчитаем методом билинейного преобразования дискретный фильтр, используя в качестве прототипа полиномиальный фильтр нижних частот второго порядка. Осуществляя в (12) подстановку (15), получаем

                                                     (17)

Где А = cP2/Q;   b1 = (2сР2 - 2)/Q;   b2=l- 2bP/Q;  P = πfcT2;   Q = 1 + bP + cP2;                              (18)

14

0402.91.0000.000ПЗ

Из сравнения АЧХ дискретного БИХ-фильтра, рассчитанного методом инвариантного преобразования ИХ (кривые 2 и 3 на рисунке 1.5), и БИХ-фильтра, найденного методом билинейного преобразования (кривая 4), видно, что второй метод дает меньшие значения АЧХ в полосе заграждения. Это объясняется отсутствием здесь эффекта наложения спектров, характерного для метода инвариантного преобразования ИХ.

Вместе с тем сравнение кривых 1 и 4 на рисунке 1.5 дает основание сделать вывод, что метод билинейного преобразования приводит к некоторому изменению масштаба по оси частот: у дискретного фильтра спад АЧХ наступает раньше, чем у непрерывного фильтра-прототипа. Соотношение между частотой f непрерывного фильтра и частотой fд дискретного фильтра можно найти из равенства (15).

Итак, метод инвариантного преобразования импульсной характеристики сохраняет масштаб графика АЧХ по горизонтальной оси (оси частот), но дает искажения по вертикальной оси вследствие эффекта наложения. Что же касается метода билинейного преобразования, то здесь картина обратная: по вертикальной оси график не искажается, но  происходит деформация графика по горизонтальной оси. Зная характер этой деформаций, можно заранее внести соответствующие изменения в ЧХ фильтра-прототипа для того, чтобы получить желаемый результат.

Частотные преобразования дискретных БИХ-фильтров — это преобразования, позволяющие по передаточной функции дискретного фильтра нижних частот найти передаточные функции других

15

0402.91.0000.000ПЗ

видов фильтров. Такие преобразования выполняются достаточно просто: вместо оператора z в передаточную функцию дискретного фильтра нижних частот подставляется соответствующее выражение. При этом могут выполняться следующие преобразования.

ФНЧ — ФНЧ. Если ФИЧ с частотой среза fc1 требуется преобразовать в ФНЧ с частотой среза fc2. то можно использовать подстановку

ФНЧ — ФВЧ. ФНЧ с частотой среза fc1 преобразуется в ФВЧ с частотой среза fс2 с помощью подстановки

ФНЧ — ФПП. Для преобразования ФНЧ с частотой среза fc в полосно пропускающий фильтр с частотами среза (верхней и нижней) fв и fн рекомендуется подстановка

ФНЧ - ФПЗ. Исходя из ФНЧ с частотой среза fc можно получить полосно заграждающий фильтр с частотами среза (верхней  нижней) fв и fн с помощью подстановки

Применяя данные подстановки, можно преобразовать передаточные функции спроектированных выше дискретных ФНЧ в передаточные функции дискретных ФВЧ, ФПП, ФПЗ.

16

0402.91.0000.000ПЗ

2 ОПИСАНИЕ ПРОГРАММЫ

2.1 Функциональное назначение

Система поддерживает выполнение операции с векторами, матрицами и массивами данных, реализует сингулярное и спектральное разложения, вычисление ранга и чисел обусловленности матриц, поддерживает работу с алгебраическими полиномами, решение нелинейных уравнений и задач оптимизации, интегрирование в квадратурах, решение дифференциальных и разностных уравнений, построение различных видов графиков, трехмерных поверхностей и линий уровня. В системе реализована удобная операционная среда, которая позволяет формулировать проблемы и получать решения в привычной математической форме, не прибегая к рутинному программированию.

Наиболее известные области применения системы MATLAB: математика и вычисления; разработка алгоритмов; вычислительный эксперимент, имитационное моделирование; анализ данных, исследование и визуализация результатов; научная и инженерная графика; разработка приложений, включая графический интерфейс пользователя.

Объектом моделирования данной работы является Фильтр Верхних (ФВЧ) Баттерворта. Написание алгоритма моделирования, анализ полученных данных, построение графиков осуществляется в системе MATLAB

Процесс взаимодействия пользователя с программным средством осуществляется с помощью интерфейса системы MATLAB. Операционная среда системы MATLAB  - это множество интерфейсов, которые поддерживают связь этой системы с внешним миром. Сюда входят диалог с пользователем через командную строку или графический интерфейс, просмотр рабочей области и путей доступа, редактор и отладчик М-файлов, работа с файлами и оболочкой DOS, экспорт и импорт данных, интерактивный доступ к справочной информации, динамическое взаимодействие с внешними системами, такими, как Microsoft Word, Excel и др.

Реализуются эти интерфейсы через командное окно, инструментальную панель, подсистемы просмотра рабочей области и путей доступа, редактор/отладчик М-файлов, специальные меню.

2.2 Описание логической структуры

Как и программирование любого средства, программирование данного объекта начинается с определения логической структуры программы.

СХЕМА АЛГОРИТМА

     начало

         1

Преобразование данных в форму, пригодную для обработки (ввод) (b = 1.4256; c = 1.5162; fc = 1000)

             Преобразование

              Данных; Ввод

        2

Выполнение операций, в результате которых изменяется значение, форма представления или расположение данных (p=(fc.*(p.*p+fn.*fv))./(p.*(fv-fn)))

         Выполнение

                 операций

Преобразование данных в форму, пригодную для отображения результатов обработки (вывод) (

plot(f,modGz,'b',f,modGp,'r'),grid,title('ЛАЧХ'),pause)

         3

       Преобразование

           Данных; Вывод

     конец

Начало программы начинается с определения подключаемых библиотек модулей, определения формата вывода данных и др.

В нашем случаем в этом разделе мы ограничимся объявлением формата вывода данных (и в аналоговом, и цифровом фильтрах). Пример: format compact, это означает подавление пробела между строками.

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

17

0402.91.0000.000ПЗ

Следующим структурным элементом является объявление констант и начальных данных.

Пример: <переменная > = <значение>;

          <переменная> = <начальное значение>:<шаг, на который будет изменяться переменная на каждой итерации>:<конечное значение>;

Затем область задания функций и алгоритмов, которые должны быть реализованы в программе.

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

18

0402.91.0000.000ПЗ

Вывод результатов программы на экран в виде таблиц, графиков и т. д. В данной работе при моделировании аналогового фильтра используется оператор «plot (x,y,’атрибут’)», который после представления данных в виде массива строит по конечным данным двухмерные графики.

Конец процесса обработки данных или работы программы

2.3 Используемые технические средства

Для запуска и функционирования программы требуется пакет математических вычислений Mathworks Matlab v. R2008a или ранние версии . Системные требования:  32-bit MathWorks Products:Операционная система:Windows® XP (Service Pack 1 or 2),Windows Server 2003 (Service Pack 1 or 2, R2),Windows Vista™Процессор: Intel® Pentium (Pentium 4 and above),Intel Celeron,Intel Xeon,Intel Core,AMD Athlon™,AMD Opteron,AMD Sempron.Место на жестком диске: 510 MB (только MATLAB®)*RAM: 512 MB (рекомендуемое 1024 MB).

64-bit MathWorks Products: Операционная система: Windows® XP x64 (Service Pack 1 or 2), Windows Server 2003 x64 (Service Pack 1 or 2, R2), Windows Vista™ Процессор: Intel® Pentium (Pentium 4 and above), Intel Celeron, Intel Xeon, Intel Core, AMD64. Место на жестком диске: 510 MB (толькоMATLAB®)* RAM: 1024 MB (рекомендуемое 2048 MB).

2.4 Вызов и загрузка

Для вызова системы MATLAB требуется двойное нажатие на иконку в рабочем столе Windows. При инсталляции MATLAB-а стартовой директорией по умолчанию является $matlabroot\work, где $matlabroot есть директория, где установлены файлы системы MATLAB.

При вызове, система MATLAB автоматически выполняет главный М-файл (master M-file) matlabrc.m., и файл startup.m (если последний существует). Файл matlabrc.m, которые расположен в директории local, зарезервирован фирмой The MathWorks, а в многопользовательских системах может быть использован также системным менеджером. Файл startup.m предназначен для задания ряда стартовых опций (возможностей) по усмотрению пользователя. Вы можете изменить исходные пути доступа, ввести заранее определенные переменные в рабочее пространство, изменить текущую директорию и т.д. Стартовый файл startup.m следует ввести в директорию $matlabroot\toolbox\local.

Затем для того, чтобы запустить нужный нам файл, открываем диалоговое окно «открыть» из панели инструментов, находим нужный файл, <имя файла>.<расширения Matlab>,

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

19

0402.91.0000.000ПЗ

(FPP.m) двойным нажатием загружаем его в Matlab, затем кнопкой на панели инструментов в виде треугольника или нажатие F5 запускаем программу.

2.5 Входные и выходные данные

Входными данными являются заданные по условию значения переменных. Это: частота среза ФНЧ - прототипа (fc = 1000 Гц), для пропускающего фильтра: частота верхняя (fv = 3000 Гц), частота нижняя (fn = 1000 Гц), постоянные коэффициенты, требуемые для преобразований передаточной функции (b = 1,4256,c = 1,5162).

Главной выходной характеристикой является передаточная функция моделируемого фильтра, а из неё находят Амплитудно-частотную, Фазо-частотную характеристики, а также время задержки сигнала. Эти характеристики представлены в виде графиков (см. приложение С), которые позволяют наглядно оценить правильность моделирования фильтра путем сравнения с эталонными значениями.

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

20

0402.91.0000.000ПЗ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итогом данной работы является разработка на языке системы MatLab программы моделирования аналогового полосно-пропускающего фильтра Чебышева (см. приложение А),  выполнение моделирования  и построение графика  амплитудно-частотной характеристики (АЧХ), графика фазочастотной характеристики (ФЧХ)  и времени задержки аналогового ФПП (см. приложение С), используя  частотные преобразования БИХ-фильтров и дополнение для расчета АЧХ и ФЧХ аналоговых фильтров. Всё вышеперечисленное позволяет производить интерактивная система MatLab.

В результате моделирования разработаны 2 модели пропускающих фильтров Чебышева: аналоговый  и цифровой. Цифровой фильтр смоделирован методом инвариантного преобразования.

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

21

0402.91.0000.000ПЗ

СПИСОК  ИСПОЛЬЗОВАННЫХ  ИСТОЧНИКОВ

Гутников В.С. Фильтрация измерительных  сигналов. -Л.: Энергоатомиздат. Ленингр. Отд-ние, 1990.-192 с.Потемкин В. Г. Система Матлаб.Тронин Ю. В., Гурский О. В. – Синтез фильтров. Учебное пособие. Москва, Издательство МАИ. 1990.

Приложение А  Код программы

format compact

format short g

b = 1.4256;

c = 1.5162;

T2 = 0.1e-3;

fc =1000;

fn=1000;

fv=3000;

f = 0:100:8000;

z = exp(i.*2.*pi.*f.*T2);

p= i.*2.*pi.*f;

%Находим аргумент для дискретного ППФ фильтра

A = cos(pi.*T2.*(fv+fn))./cos(pi.*T2.*(fv-fn));

B = tan(pi.*T2.*fc)./tan(pi.*T2.*(fv-fn));

z_chisl = 1 ./z.^2 -2*((A*B)/(B+1)).*(1 ./z) + (B-1)/(B+1);

z_znam = ((B-1)./(B+1)).*(1 ./z.^2)-2.*((A.*B)./(B+1)).*(1 ./z)+1;

z_1 = -z_chisl ./z_znam;

z = 1 ./z_1;

%Моделируем цифровой ППФ

b1 = -2.*exp(-pi.*b.*fc.*T2).*cos(pi.*fc.*T2.*sqrt(4.*c - b.^2));

b2 = exp(-2*pi*b*fc*T2);

Gz1 = 1 + b1 + b2;

Gz2 = 1+b1.*(z.^-1)+b2.*(z.^-2);

Gz = Gz1 ./Gz2;

modGz = abs(Gz);

faza_Gz = angle(Gz);                  % фаза только для ФНЧ

tzad_Gz = -gradient(faza_Gz,f);       % время задержки  только для ФНЧ

faza_Gz = faza_Gz*180/pi;

%Моделируем аналоговый ППФ

p_new=((fc.*2.*pi).*(p.*p+(fn.*2.*pi).*(fv.*2.*pi)))./(p.*((fv.*2.*pi)-(fn.*2.*pi)));

Gp = (c.*4.*pi.*pi.*fc.*fc) ./(p_new.*p_new + 2.*pi.*p_new.*b.*fc + c.*4.*pi.*pi.*fc.*fc);

modGp = abs(Gp);

faza_Gp = angle(Gp);                  % фаза только для ФНЧ

tzad_Gp = -gradient(faza_Gp,f);       % время задержки  только для ФНЧ

faza_Gp = faza_Gp*180/pi;             % т.к. сравнивать не с чем для ФВЧ,...

%Графики

plot(f,modGz,'-b',f,modGp,'r'),grid,title('ЛАЧХ'),pause

plot(f,faza_Gz,'-b',f,faza_Gp,'r'),grid,title('ЛФЧХ'),pause

plot(f,tzad_Gz,'-b',f,tzad_Gp,'r'),grid,title('Время задержки')

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

22

0402.91.0000.000ПЗ

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

23

0402.91.0000.000ПЗ

Приложение Б Графики АЧХ, ФЧХ, и времени задержки

Рисунок 1. Совмещение АЧХ аналогового ФПП с  цифровым дискретизированным АЧХ

Рисунок 2. Совмещение ФЧХ аналогового ФПП с  цифровым дискретизированным ФЧХ

Рисунок 3. Совмещение времени задержки аналогового ФПП с  цифровым дискретизированным

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

24

0402.91.0000.000ПЗ